数学家是如何解析空间的

现如今，空间研究被视为现代科技与应用的基础研究之一，使得我们可以更加准确、透彻、全面地掌握事物的客观特性；随着研究的深入，正不断地赋予人类理解自然和运用规律的能力，其重要性是不言而喻的。

说到空间研究，可是个既老又新的课题，也是少有从未间断过探索的重大课题之一；在数学史上，大概可“与之匹敌”的就只有对圆周率（π）的无穷探索了。

而我们平时所能感受得到的空间，一般指由长、宽、高构成的欧氏几何三维空间。一维的线段就像织布一样经纬交织而成二维面积，二维的面积就像书本的纸张一样一张张叠加而成三维体积；反之也可以由三维体积到二维面积到一维线段进行层层解构。

为使方便理解，我们不妨以边长为x的正方体为例略作说明。则边长就为x，面积就为x

，体积就为x

；反之，一阶导就为3x

，二阶导就为6x。显然由一维到二维到三维和由三维到二维到一维可以逆运算。

倘若在三维空间上再加上时间维，就构成四维时空。但时间是否真实存在向来都存在着争议。比如施一公就认为“宇宙中从来不存在时间，地球上根本没有时间，这本来就是我们想象出来虚无缥缈的一个概念；时间其实就是一个空间维度，一个运动维度，时间就是空间。”按照这个逻辑，时间的本质就是运动。

但不管怎么说，在传统的欧氏几何三维空间里，线段都是构成一切的最基本单元。欧几里得的《几何原本》开篇第一公设就为“从任意两点可作一条直线”，且五公设几乎全跟直线有关，但却以此作为基础推证出个命题，环环相扣洋洋洒洒13卷构成一座十分宏伟的欧氏几何大厦。更进一步说，我们有理由相信，理论上欧氏几何大厦远不止“层”，能建多高在乎于后继者的构建能力。

显然，当一条线段L被取有限长时，它就是一条具有两个端点的直线；反之，若将一条直线的两个端点去掉就是一条线段。当L→∞时既可以表达无边的宇宙，当L→0时又可以归结为一个点。如此看来，某些哲学观点认为的“介子纳须弥”也并非全无道理。

由于一维的直线x有2个端点，所以二维的面积就有4个端点，三维的体积就有8个端点；推之，四维体有16个端点，n维体有2

个端点。

并且，在平面坐标上，无论(x+

x)如何变化，当中的每一个点都可以用(x，y)一对数组来表示。但数学家们认为实数的运算并不能解决所有问题，例如x

+1=0时没有实根，于是定义x=√(-1)为虚根，并用i=√(-1)来表示虚数，继而把由实部和虚部组成的形如a+bi=z的数称为复数。

因此，在复数的概念下，每一个点都可由实数构成的实部和虚数构成的虚部的复数形式来表达，实数和虚数在各自的数轴上开展运算，且实数最终都落在实数轴上，而与实数相对的虚数则反映在虚数轴上。如果让实数轴置设于水平，并使虚数轴垂直于实数轴就构成复平面坐标，点在复坐标上就可以用(a，bi)来表达。

那么，有了复数概念之后，现在让我们再回到传统的欧氏空间上来。在传统欧氏空间里，0维的点就是没有维度的，它只有一个象限，所以x

=1（此处的x为x→0时/代表任意点自身）；一维的直线x有两个端点，所以有两个象限2

=2。但一维的直线(x+

x)理论上是可以任意变化的，

x既可以是正的也可以是负的，也就是可以伸缩，所以(x+

x)的变化将引发二维面积和三维体积的变化。

但在复平面上，实数范围的一切变化，最终都落在实数轴上，所以反映到实数轴上也就是一条具有2个象限的一维可伸缩直线，如此与虚数轴构成二维复平面坐标系。

也就是说，无论是传统的欧氏空间还是复空间，本质上都具有对称性，从对称性的角度由欧氏空间进入复空间是人类的又一次伟大跨越。

而虚数因为拥有诸多特殊性质，且自带4n加0、1、2、3次幂周期“旋转”特性（详略）。因此，合成的坐标系就由“伸缩+旋转”来表达，所以复空间的一维变量取正负值就对应有2

=2个象限，这样描述二维复空间需要2个坐标变量对应有2

=4个象限，描述三维复空间需要4个坐标变量对应有2

=16个象限，描述四维复空间需要8个坐标变量对应有2

=个象限......类推。

数学家们正是通过这样的方法来解析复空间的，且都是建立在运算规则的基础之上构建出来的。“直观”地说，数学家们喜欢将复空间想象成复平面，黎曼球面就是个典型的例子；他们甚至引入复函数来进行空间的研究，手法之多远超普通人的想象。

可话说回来，说到这里，也许有人会说复数都是数学家们凭空想象出来的，复空间可能就像电影《盗梦空间》里一样，游走于梦境与现实之间，充其量不过是“发生在意识结构内的科幻片”。

其实不然，复数中的虚数运算不但本来就是为了解决实数运算不能解决的问题而出现，而且虚部的运算往往是可以转化为实数的，比如i

=1、i

=-1、(ie)(iπ)=-eπ、ia/ib=a/b、(a+ib)(a-ib)=a

+b

等等均为实数。不但如此，诸多复数运算还能起到验证结果的作用，如果虚部的运算结果b≠0而导致i消失，则说明计算的结果出现了错误；著名的欧拉公式

=-1以麦克劳林无穷级数展开，正是因为正弦虚部的结果为0从而消除了i，而余弦实部在

处正好等于-1，所以运算的结果是正确的。

而更为重要的是，看不见的东西并不等于不存在，例如电波就是看不见的东西，但确实存在；虚数也一样，它并非真“虚”，而是虚而不虚。如今，现代算法已经大规模使用复数来参与混合运算，不但威力巨大且在诸多运算中占有不可替代的地位。

有趣的是，某著名电子产品公司的旗下系列产品均以i+产品名字来命名，例如i电话、i平板等等。尽管这家公司从未对为什么以i开头来命名产品作出过任何官方解释，但我们还是可以从该公司的广告语中瞥见一二，他们以“探索‘（某）水果’，充满创新的世界”来广而告之。

小编认为，这家著名电子产品公司之所以将旗下系列产品均以i+产品名字来命名，绝不是心血来潮，而是有意而为之，因为i很容易让人联想到虚数和复数，也很容易让人联想到复空间。在高维复空间里，仅五维复空间就需要16个坐标变量多达个象限来描述，余类推。所以随着维度的增加，将变得异常复杂，但在数学的加持下，却又并非遥不可及；所以他们的广告语，言下之意可能是，即使再复杂的高维复空间——就藏在（我们的）i系列产品里；如此广告语，绝不能简单地归结为广告创意，还在于表达产品已经触及科技前沿。

所以复空间并非不能想象，但解析复空间必须建立在数学的方法之上，并借助大型计算机运用复数混合运算来加以研究。而有一部分数学家正是这样的一群人，他们因为对复数有比较深刻的了解，所以拥有在这些领域探索的资格，并且已经取得了许许多多鲜为人知的重大研究成果。

也许对于不是数学家的我们来说，如果说以上这家著名电子产品公司将旗下系列产品均以i+产品名字来命名，还能给我们一些想象的话，那么复数远比这还要微妙得多，事实上如今复数已经渗透到诸多前沿科学领域，并正引领着未来研究新方向。严格来说，复数在本质上就是一种较为现代的世界观，让我们有机会以一种不同于传统的方式去认知谜一样的未知新世界。

编撰：然好

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